(по пособию Чернова Н.М. , Математическая обработка экспериментальных данных. Часть 2 (вве­де­ние в ре­грес­сионный и корреляционный анализ): Метод. Руковод­ство / Меж­ду­на­родный педагогический университет. - Магадан.: Изд. МПУ, 1996. - 28 с. )

 

 

 

ПОСТРОЕНИЕ ЭМПИРИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ЗАВИСИМОСТЕЙ И МЕТОДЫ УТОЧНЕНИЯ ИХ ПАРАМЕТРОВ

 

 

Будем считать, что некоторое явление характеризуется двумя ве­ли­чи­на­ми {Х} и {Y}, связанными между собой некоторой неизвестной экс­пе­ри­мен­та­то­ру функциональной зависимостью. Любую из этих величин с одинаковой сте­пенью можно считать независимой, тогда как другая будет считаться за­ви­си­мой. Пусть, например, независимой положим переменную {X}. Тогда го­во­рят, что переменная Y связана с {X} некоторой зависимостью, которую без ог­ра­ничения общности можно представить: Y = F(Х), где F - некоторый не­из­вест­ный оператор, связывающий множество Х со множеством Y. Для прос­то­ты можно считать преобразование взаимно однозначным, хотя на практике это выполняется далеко не всегда.

Теперь математически задача сводится к построению явного вида опе­ра­то­ра F и затем его уточнению. Методов решения указанной задачи су­щес­тву­ет достаточно много. Рассмотрим методы линейного регрессионного анализа.

Одним из самых простых операторов F является линейный, определяющий линейную зависимость вида Y = АХ + В. Положим В = 0 и определим связи между переменными Х и Y, вычислив параметр А.

 

МЕТОД ВЫБРАНЫХ ТОЧЕК

 

Проведем прямую как можно ближе к нанесенным точкам (рис. 1) и вы­бе­рем на этой прямой про­из­воль­ную точку М(Х, Y).

 

 

 

Рис.1 Экспериментальные точки с выбранной точкой M

 

Тогда параметр А определится из отношения А=у/х. Преимущество этого ме­тода перед всеми состоит в его наглядности. Но заметим, что значения А мо­гут колебаться довольно значительно, так как прямая строится про­из­воль­но и в выборе точек, через которые проводится прямая, нет однозначности.

 

 

МЕТОД СРЕДНИХ

Этот метод дает лучшие результаты по сравнению с методом выбранных то­чек. Если предположим, что зависимость построена, тогда y_i = aх_i даст при­бли­женные значения y_i. Определим параметр a из условия минимума средней ошибки

 

 

Перепишем последнее выражение в виде

 

 

откуда получаем выражение для     

.

 

 

 

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Этот метод дает еще более точные результаты по сравнению с двумя рас­смот­ренными выше. В этом методе параметр а определяется из условия ми­ни­мальной суммы квадратов отклонений табличных значений у_i от полу­чен­ных у_i* :. Условие минимума F, как известно, да­ет равенство нулю ее первой про­из­вод­ной, т.е. . Продиф­ферен­ци­ро­вав F по а, получим

,

 

откуда находим

.

 

 

 

Каждый из приведенных выше методов является более точным (по по­ряд­ку возрастания). Поэтому рекомендуется сначала воспользоваться методом вы­б­ранных точек, а затем - одним из двух оставшихся (для уточнения па­ра­мет­ра а).

            Пусть теперь В ≠ 0. Посмотрим, как изменятся методы. Общий вид за­ви­си­мости теперь Y_i = АХ_i + В.

            Для уточнения параметров А и В воспользуемся тремя уже рас­смот­рен­ны­ми ранее методами.

 

 

МЕТОД ВЫБРАННЫХ ТОЧЕК

 

Выберем на построенном графике две про­из­воль­ные точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂). Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой будет

 

 

 ,

 

 

откуда получаем

 

 

.

 

 

           

 

Тогда выражения для параметров А и В можно определить явно как

 

 

 

.

 

 

 

МЕТОД СРЕДНИХ

Согласно этому методу, А и В ищутся такими, чтобы ал­гебраическая сумма всех уклонений от вычисленных значений была бы равна нулю

 .

            Для определения А и В разобьем все данные на две группы так, чтобы сум­ма алгебраических уклонений каждой группы от среднего была бы рав­на нулю. Иными словами среднее для одной группы точек было бы равным (или не очень сильно отличалось) среднему другой группы точек. Тогда для каж­дой группы запишем

 

 

 

 

где L - число элементов в I группе. Из последней системы найдем А и В:

 

 

 

.

      

 

Выполнив над последними выражениями элементарные алгебраические преобразования, получим окончательно выражения для коэффициентов А и В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

Согласно этому методу, ищем минимум фун­кции

 

 

 .

 

Используя условие экстремума функции F, найдем

 

 

 

 

 

От последней системы можно перейти к более простой, выполнив над ней эле­ментарные алгебраические преобразования:

 

 

 

 

 

 

Решая последнюю систему относительно А и В, получим